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京都で研修会に参加 [数学]

お誘いを受けて、京都教育大学で開催された数学の可視化をテーマにした研修会に参加させてただいた。

自分は、A4用紙を半分折にすることを繰り返すことによって得られる1/n折と、1/nの2進数による表現に関する話を報告させてもらった。

しばらく前に、若手の(もう中堅か?)S先生から話題提供を受け、考えたことをS先生とやり取りしていたことであった。


・最速降下曲線がサイクロイドになることについて

 高専の先生が模型を作製されて持参された。実際にマウスのボールを転がして見せていただいた。

 スタートの仕組みにもう一工夫いるとのことだった。

 昨年か一昨年に、同じ話題を大学の同期の鈴木康真君がまとめていて、お寺の屋根がサイクロイドになっていることを知らせてくれたことを思い出し、発言させてもらった。


・放物面、鞍点等の模型

 アクリルで部品を作って、組み立てるものをたくさん持ってきていただき、自分は鞍点の模型を実際に作らせてもらった。

 厚紙でも作れるかな。


・循環小数について

 1/p (pは素数)の循環節の長さについて

 1/n でnに2^k 、5^mが因数として含まれている場合の循環節の開始される場所について

  例えば、n=280=2^3 X 5 X 7 のとき、

   1/n= 0.003574218574218574218......

  と、0.003があり、その後、574218 が繰り返す。

  このことについて、発表者自身はうまく解明できていないようであり、他の人からは、正解に至らなさそうな方法の提案があったので、以下のような説明を板書させてもらった。

  1/280=1/(2^3 X 5 X 7) = 25/ 2^3 X 5^3 X 7) = 1/1000 X 25/7

    = 1/1000 X (3 + 4/7) = 0.003 + 1/1000 X (0.574218574218574218......)

    ほかのnについても、素因数分解の中で2及び5のべきを考え、そのうちの大きい方をkとすると、1/10^k を取り出すことができ、それが小数点以下k位まで下げることにつながる。そこに、循環とは別の数が出る。

  そして、第k+1位から循環節が始まる。


朝、5;58福光発城端線で新高岡へ。

新高岡から新幹線で金沢へ。

金沢からサンダーバードで京都へ。


帰りは、京都18時後半発のサンダーバードで金沢へ。

金沢21時過ぎ発のバスで福光へ。



タグ:無限折
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シモーヌ・ベイユ [数学]

先日、「シモーヌ・ベイユ死去」の記事が新聞に載っていた。

シモーヌ・ベイユといえば、数学者アンドレ・ベイユの妹。


まだ存命だったのか?

と思って調べてみると、この方は政治家で、哲学者でアンドレ・ベイユの妹のシモーヌ・ベイユとは別人であるとのことだった。


アンドレ・ベイユの妹の方は1943年に34歳の若さで亡くなっている。

月刊 数学セミナー [数学]

本屋に立ち寄ったら、4月号があった。

しばらく、忙しかったので、発売日が過ぎていることを忘れていた。

1年前か、もう少し前か、はっきりしないが、地元の本屋さんで数学セミナーが1冊しか置いてないようになった。

それより前は、ずっと、2冊置いてあって、自分が1冊買っていた。残りの1冊は、いつも売れ残っていた。それが、1冊しか置いてないようになった。僕以外に人が買うようになり、僕が店に行ったときには1冊になっているのかと思ったが、どうもそうではなさそうであった。

それが、ここしばらく前から2冊置いてあるようになった。相変わらず、僕が買った後、1冊は残っているけど。

買っただけでよく読まないことも多いが、この町の本屋さんから数学セミナーが消滅しないように、そして、田舎でもこの本を手に取る高校生などが出てくれるかもしれないことを期待しながら、毎月、地元の本屋さんで買うことにしたい。


ラマヌジャンに関連して [数学]

6月に出張に行った学校に止めてあった自動車の番号がラマヌジャンのタクシー数1729であった。
それをきっかけに、1+2+3+ ... +n+ ... = - 1/12 にいついて考察してみた。
・7月に「1+2+3+....+n+...= - 1/12 の証明について」を作成
 S=1+2+3+ ... + n+ ...とし、S-4Sを考える。

 さらに、ゼータ関数にs=-1を代入したものであるからというレポートの作成を準備していた。
 そうしているうち、、ラマヌジャンに関する映画「奇跡がくれた数式」(英語のタイトルはThe man who knew infinity)が10月下旬に公開されることが数学セミナーの表紙に載った。

・9月に「1+2+3+....+n+...= - 1/12 の証明 その2」を作成
  この式について、ゼータ関数のベルヌイ数を用いた展開式に―1を代入して考える。さらに、ζ(-2n+1)やζ(2n)も求める。ガンマ関数やゼータ関数の基本事項の復習を兼ねたもの。

 上記のレポートを何人かの人に配っていたら、9月27日の富山県高等学校教育研究会数学部会でサイエンスナビゲータの桜井進氏がラマヌジャンの痕跡をインドで取材した内容の講演をされることが判明した。
 残念ながら、自分は役回りで、当日は書道部会への参加で、数学部会に行くことはできなかった。資料だけもらったら、上記の式も取り上げられていた。
 さらに、無限多重ルートで3に等しくなるもの書かれていた。そこで

・「ラマヌジャンの多重ルートに関連して」を作成

今年春からは、x^2+y^2=n を満たす整数の組(x,y)の個数について、Jacobiの3重積公式の計算をなぞっている。ちょっとラマヌジャンの無限に縁がある年である。

レポートは、 http://ja9nfo.web.fc2.com/math/math.htm に掲載。


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エルミート行列の固有値 [数学]

事情があって、エルミート行列の固有値は実数であること、固有ベクトル全体で完全正規直交系を作ることなど、数問解いた。
何かのきっかけがあって、問題を解くことになるのは、ありがたいことである。
普通に過ごしていると、こうした問題を解くことはない。

なお、x^2+y^2=n の整数解(x、y)の個数についても、ようやくうまく理解できてきたので、ちょっとうれしい。

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A4用紙で正四、八、二十面体とサッカーボール [数学]

しばらく前に、A4用紙で正四面体を作る方法について工夫してみたのだが、その後、そのパーツを複数用いて、正八面体、正二十面体、そして、サッカーボールを作ってみた。ようやくではあるが、HPに掲載。

以下のURLのページに掲載

http://ja9nfo.web.fc2.com/math/math.htm
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A4印刷用紙で折り畳み正四面体を作る [数学]

先日の「きときと数学研修会」で話題提供のあった正四面体を作る方法に関する自分なりの工夫。
以下のURLのページに掲載

http://ja9nfo.web.fc2.com/math/math.htm
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平成27年度 第2回きときと数学研修会 [数学]

2月20日(土)午後に開催され、参加してきた。
若手の2人の先生のアクティブ・ラーニングの実践報告が中心。
なかなか頑張っている。成績もまずまずいい様だ。
「取り組みあって学び無し」にならないようにと、重鎮の校長に厳しいお言葉もいただいているとのこと。

自分は2つ資料を提出して、読んでおいてもらうことに。

なお、B5サイズの厚紙を2枚使って、折り目を利用して正四面体を組み立てることをみんなで実際に
やってみた。
翌朝、目覚めた時に、ふと、もう少し簡単にできるのではと思い、試行錯誤して、結構簡単にできるやり方に辿り着いた。明日あたり、参加メンバーに尋ねてみたいと思う。

残念ながら、今回は懇親会が中止となった。
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センター試験に 92x+197y=1 の特殊解について出題 [数学]

先日、「互除法と不定方程式ax+by=dの特殊解 エクセルのVBA」について、何人かにエクセルファイルを送っておいたら、そのうちの一人から「不定方程式ax+by=1の問題がセンター試験に出題されたようだ」と連絡があった。

その後、webで問題を確かめたら
92x+197y=1と92x+197y=10の整数解でxの絶対値最小の解を求めよという問題であった。

2~3年前に思いついた互除法と不定方程式の特殊解の簡単な筆算の方法でやると
                                                    
   92    197       15   -7      
2)    184    ----------      
   ----------    -14        
   92    13    1 -7       
91    (7    ----------      
   ----------            
   1               


により、 92 × 15 + 197 × (-7) =1
 を得る。1~2分くらいでできるだろうか。
(右の列は、左の互除法を下までやったあと、下から上へ計算している)

 高校に教える基本的な計算方法では、
 197 = 92 × 2 +13
92 = 13 × 7 +1
として、逆に戻ると
   1 = 92 - 13 × 7
= 92 - (197 - 92 × 2 ) × 7
= 92 - 197 × 7 + 92 × 14
= 197 × 15 + 92 × (-7)
  まあ、これでもすぐできるか。
  互除法を2段階すれば終わるので、計算の速さ等に大差がないかもしれない。
  もっと、互除法の段階が多いと差がはっきりするだろう。


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ユークリッドの互除法と不定方程式 ax+by=d の特殊解 [数学]

ユークリッドの互除法を行い、その右に係数を下から上へ戻る筆算で、ax+by=d(最小公倍数)の特殊解を求める方法について、エクセルで実行する簡単なVBAを作成した。

等差数列をいくつか持ってきて、その共通項を考える問題を解くときに、等差数列が3つとか4つとかになると、結構大きな数について、ユークリッドの互除法を使う。筆算でもよいが、道具があると便利か。
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