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常用対数 log[10] 2 =0.3010 を筆算で計算する方法について [数学]


 5月21日の午後に、若い先生からメールで質問があった。

 これまで、突き詰めたことは無かったが、2と10のべき乗の比較で求めるのではと思っていた。

 2^10 = 1024 が 10^3=1000に近いから、log[10] 2 が0.3に近い、0.3よりちょっと大きいとわかるが、0.3010に近いと言うにはどうするか?
 エクセルで2のべき乗を100乗まで並べても、いい感じの解答が思い浮かばない。

 そこで、別の方法を考えてみた。東京への出張の列車の中である程度計算できたが、帰宅後多少修正してまとめたものをHPに載せておいた。




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ガウス整数の最大公約数 [数学]

 今月初め、何人かの人に「ガウス整数 -7+11i と 11+12i の最大公約数を求めよ」という問題を送ってみた。
出題の意図は、ガウス整数でもユークリッドの互除法が使える、その練習問題ということ。

互除法の線で解答を知らせてくださった人が1人。

若い1人は、絶対値の素因数分解から探って、求めていた。普通そうするだろう。
さらに、ガウス整数でも、最大公約数を ax+by=d と表すことについて尋ねてみた。

その後、懇親会で一緒になった何人かには、解答例を配布して、後日楽しんでくださいと伝えた。上述の若い人が真剣に見てくれていたようで、よかった。

解答例は、HPに上げておいたが、互除法に関する解説は数ページの手書きをTeXに打ち込めていないのでHPに掲載できていない。

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x^2+y^2=N の整数解の個数 [数学]

数日前から復習している。2年前にある程度まとめておいたものを振り返った。


1 ガウス整数環 \mathbb{Z}[i]における因数分解の考え方から、

x^2+y^2=N でgcd(x,y)=1なるものが存在するのは、Nの素因数分解が以下のいずれかのとき。

(1)N=p_1 ^{e_1} p_2 ^{e_2} .... p_k ^{e_k} (p_j は4で割って1余る素数)

(2)N=2 p_1 ^{e_1} p_2 ^{e_2} .... p_k ^{e_k} (p_j は4で割って1余る素数)

そして、gcd(x,y)=1 なる自然数の組(x,y)は、xとyの入れ替えを無視すると、2^{k-1}とおりである。


2 Jacobiの三重積公式を用いた母関数の考え方から

x^2+y^2=N の(0や負の整数も含めた)整数解(x,y)の個数は、

4×{(Nの約数で4で割って1余るものの個数)-(Nの約数で4で割って3余るものの個数)}

に等しい。


例1 x^2+y^2=5

・自然数では、順を無視すると(3,4)だけ。個数は2^{1-1}=1。

・整数解は、±(3,4)、±(3,-4)、±(4,3)、±(4,-3)の8個

 4で割って1余る約数は1と5の2個。3余る約数は無し。4×(2-0)=8.


例2 x^2+y^2=65

65=5×13

・自然数では、順を無視すると(1,8)、(4,7)の2個。2^{2-1}=2

・整数解は、上記2組の±とyだけをマイナスにしたものの±、さらにxとyを入れ替えたもので16個。

 約数は1,5,13,65でいずれも4で割って余りが1である。4×(4-0)=16.


例3 x^2+y^2=35
35=5×7

・自然数解はなし。35の因数に4で割って3余る7が含まれている。

・整数解も無し。

 約数は、1,5,7,35 で、4で割って余りが1のものは、1,5の2つ。3余るものが7,35の2つ。

 4×(2-2)=0


レポートをTeXに打つ予定であるが、いつ終わるか不明である。

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ドラマ「天才を育てた女房」 [数学]

岡潔先生の奥様の物語。岡潔先生を妻の視点から見たというドラマ。

数学セミナーの記事に掲載されていた。その前にテレビの予告を見ていたが、天才が岡潔先生であるとは思いもしなかった。

ガストン・ジュリア、アンリ・カルタン、秋月康夫などの数学者が登場して、ずっと昔、学生時代に目にしていたことを思い出しながらうれしい気持であった。


自分が学生時代の指導教官の松村英之先生の指導教官が秋月康夫教授。大学4年生の時の松村先生のセミナーのテキストが広中・卜部「解析空間入門」で、第2部で「岡の連接定理」「カルタンの定理A」「カルタンの定理B]等を学んだ。層係数のコホモロジーとそれが満たす基本的な定理を学んだが、もうどんなことだったかわからない。抽象度が高い。


カルタンが奈良県の紀見峠の岡潔先生の家を訪ねた場面で、もう一人外国人数学者が立っていたが、これは誰か?Siegel先生か? と思ってしまう。でも、Siegel先生は単独で岡先生を訪ねて行ったのだったか。

佐々木蔵之介が岡潔先生の晩年の写真によく似た雰囲気だった。天海祐希がいい感じで、温かいドラマになっていた。



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差分による数列の和の工夫 [数学]

例えば、a_k=1/k(k+1)は1/k - 1/(k+1) と部分分数展開すると、a_1+ ... + a_n を計算することが出来る。

他の数列についても同様な「差分」としてa_k=b_k - b_(k+1) あるいは,a_k=b_(k+1) - b_k と 表し、和の計算を工夫する。


a_k = k^2  ⇒   b_k=1/3 k^3 - 1/2 k^2 + 1/6 k

a_k = k^3  ⇒   b_k=1/4 k^4 - 1/2 k^3 + 1/4 k^2  など


レポートは、以下のページ掲載した。




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京都で研修会に参加 [数学]

お誘いを受けて、京都教育大学で開催された数学の可視化をテーマにした研修会に参加させてただいた。

自分は、A4用紙を半分折にすることを繰り返すことによって得られる1/n折と、1/nの2進数による表現に関する話を報告させてもらった。

しばらく前に、若手の(もう中堅か?)S先生から話題提供を受け、考えたことをS先生とやり取りしていたことであった。


・最速降下曲線がサイクロイドになることについて

 高専の先生が模型を作製されて持参された。実際にマウスのボールを転がして見せていただいた。

 スタートの仕組みにもう一工夫いるとのことだった。

 昨年か一昨年に、同じ話題を大学の同期の鈴木康真君がまとめていて、お寺の屋根がサイクロイドになっていることを知らせてくれたことを思い出し、発言させてもらった。


・放物面、鞍点等の模型

 アクリルで部品を作って、組み立てるものをたくさん持ってきていただき、自分は鞍点の模型を実際に作らせてもらった。

 厚紙でも作れるかな。


・循環小数について

 1/p (pは素数)の循環節の長さについて

 1/n でnに2^k 、5^mが因数として含まれている場合の循環節の開始される場所について

  例えば、n=280=2^3 X 5 X 7 のとき、

   1/n= 0.003574218574218574218......

  と、0.003があり、その後、574218 が繰り返す。

  このことについて、発表者自身はうまく解明できていないようであり、他の人からは、正解に至らなさそうな方法の提案があったので、以下のような説明を板書させてもらった。

  1/280=1/(2^3 X 5 X 7) = 25/ 2^3 X 5^3 X 7) = 1/1000 X 25/7

    = 1/1000 X (3 + 4/7) = 0.003 + 1/1000 X (0.574218574218574218......)

    ほかのnについても、素因数分解の中で2及び5のべきを考え、そのうちの大きい方をkとすると、1/10^k を取り出すことができ、それが小数点以下k位まで下げることにつながる。そこに、循環とは別の数が出る。

  そして、第k+1位から循環節が始まる。


朝、5;58福光発城端線で新高岡へ。

新高岡から新幹線で金沢へ。

金沢からサンダーバードで京都へ。


帰りは、京都18時後半発のサンダーバードで金沢へ。

金沢21時過ぎ発のバスで福光へ。



タグ:無限折
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シモーヌ・ベイユ [数学]

先日、「シモーヌ・ベイユ死去」の記事が新聞に載っていた。

シモーヌ・ベイユといえば、数学者アンドレ・ベイユの妹。


まだ存命だったのか?

と思って調べてみると、この方は政治家で、哲学者でアンドレ・ベイユの妹のシモーヌ・ベイユとは別人であるとのことだった。


アンドレ・ベイユの妹の方は1943年に34歳の若さで亡くなっている。

月刊 数学セミナー [数学]

本屋に立ち寄ったら、4月号があった。

しばらく、忙しかったので、発売日が過ぎていることを忘れていた。

1年前か、もう少し前か、はっきりしないが、地元の本屋さんで数学セミナーが1冊しか置いてないようになった。

それより前は、ずっと、2冊置いてあって、自分が1冊買っていた。残りの1冊は、いつも売れ残っていた。それが、1冊しか置いてないようになった。僕以外に人が買うようになり、僕が店に行ったときには1冊になっているのかと思ったが、どうもそうではなさそうであった。

それが、ここしばらく前から2冊置いてあるようになった。相変わらず、僕が買った後、1冊は残っているけど。

買っただけでよく読まないことも多いが、この町の本屋さんから数学セミナーが消滅しないように、そして、田舎でもこの本を手に取る高校生などが出てくれるかもしれないことを期待しながら、毎月、地元の本屋さんで買うことにしたい。


ラマヌジャンに関連して [数学]

6月に出張に行った学校に止めてあった自動車の番号がラマヌジャンのタクシー数1729であった。
それをきっかけに、1+2+3+ ... +n+ ... = - 1/12 にいついて考察してみた。
・7月に「1+2+3+....+n+...= - 1/12 の証明について」を作成
 S=1+2+3+ ... + n+ ...とし、S-4Sを考える。

 さらに、ゼータ関数にs=-1を代入したものであるからというレポートの作成を準備していた。
 そうしているうち、、ラマヌジャンに関する映画「奇跡がくれた数式」(英語のタイトルはThe man who knew infinity)が10月下旬に公開されることが数学セミナーの表紙に載った。

・9月に「1+2+3+....+n+...= - 1/12 の証明 その2」を作成
  この式について、ゼータ関数のベルヌイ数を用いた展開式に―1を代入して考える。さらに、ζ(-2n+1)やζ(2n)も求める。ガンマ関数やゼータ関数の基本事項の復習を兼ねたもの。

 上記のレポートを何人かの人に配っていたら、9月27日の富山県高等学校教育研究会数学部会でサイエンスナビゲータの桜井進氏がラマヌジャンの痕跡をインドで取材した内容の講演をされることが判明した。
 残念ながら、自分は役回りで、当日は書道部会への参加で、数学部会に行くことはできなかった。資料だけもらったら、上記の式も取り上げられていた。
 さらに、無限多重ルートで3に等しくなるもの書かれていた。そこで

・「ラマヌジャンの多重ルートに関連して」を作成

今年春からは、x^2+y^2=n を満たす整数の組(x,y)の個数について、Jacobiの3重積公式の計算をなぞっている。ちょっとラマヌジャンの無限に縁がある年である。

レポートは、 http://ja9nfo.web.fc2.com/math/math.htm に掲載。


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エルミート行列の固有値 [数学]

事情があって、エルミート行列の固有値は実数であること、固有ベクトル全体で完全正規直交系を作ることなど、数問解いた。
何かのきっかけがあって、問題を解くことになるのは、ありがたいことである。
普通に過ごしていると、こうした問題を解くことはない。

なお、x^2+y^2=n の整数解(x、y)の個数についても、ようやくうまく理解できてきたので、ちょっとうれしい。

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